introducción a la geometría analítica.última parte

pendiente de una recta

supongamos que, x1 no es igual a x2 y y1 no es igual a y2. La recta r no sería vertical ni tampoco paralela al eje X, luego cortaría a éste en un punto, digamos M.


designemos por α el ángulo de inclinación. La pendiente m de r es, por definición, igual a tan α.




Nos proponemos encontrar m en función de las coordenadas P2P2.


El dibujo formado pr los ejes , la recta r, el ángulo α, y los puntos P1P2 no es suficiente para llevar a cabo nuestros propósitos. Tracemos dos lineas auxiliares: la paralela OX por P1 y la paralela OY por P2. Estas dos rectas se cortan en Q formando un triángulo rectángulo, en el angulo QP1P2=α por ser estos ángulos correspondientes entre las paralelas OX y P1Q cortadas por la transversal r.





Entonces: M=tan QP1P2=QP2/P1Q=M2P2-M2Q/OM2-OM1





Por tanto: m=y2-y1/x2-x1





La pendiente buscada resulta ser el cociente que tiene por numerador la diferencia de ordenadas y por denominador la diferencia de abscisas en el mismo orden.





En la fórmula a la cual hemos llegado en el numerador y denominador aparecen como minuendos las coorenadas de P2, pero esto no tiene que ser asi.





En efecto fijate que: y2-y1/x2-x1=-(y1-y2)/-(x1-x2)=y1-y2/x1-x2





Y xom o puedes ver, los papeles de las coordenadas de P1 y P2 se han invertido.

ejemplo

Hallar la pendiente de una recta que pasa por S(6,-4), T(2,-3)

m=-3-(-49)/2-6 -3+4/2-6 1/-4

Distancia de un punto y la recta

Sea D una recta y A un punto que no pertence a D. La distancia de A a D se define así:llamaremos D´ a la recta que pasa por A y es perpendicular a D.

Entonces D´ corta D en un punto A´. La distancia de A a D es, por definición, la longitud del segmento AA´.

Formula d=│Ax0 +By0+C│/√A²+B²

ejemplo

Hallar la distancia del punto (6,-2) A la recta cuya ecuación 3x – 4y + 4 = 0

│3x-4y+4│√3²+4² 3(6)-4(-2)+4 18+8+4 30/√9+16 30/√25 30/5 = 6