la derivada :)

El tiempo a demostrado que el descubrimiento del cálculo, registrado en la última parte del siglo XVII gracias a Isaac Newton y a Gottfried Leibniz, fue uno de los adelantos más importantes en el desarrollo del pensamiento humano. Hay una cita atribuida a Laplace en la que revela la persepctiva que él observó en el logro monumental de los autores de esta obra. De ella dijo: "Siempre permanecera peerminentemente sobre todas las otras producciones del género humano".

El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una variable cuando hay variaciones en otra y otras variables de las cuales depende la original.

La razón de cambio instantanea de una función es un caso de lo que llamaremos "derivada" de una función. Daremos ahora una definición formal de la derivada.

Sea y=f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy/dx, se define por:

dy/dx=lim Δt→0 Δy/Δx

o bien:

dy/dx=lim Δt→0 f(x+Δx)-f(x)/Δx

con tal de que este limite exista.

La derivada de y=f(x) con respecto a x también se denora por uno de los símbolos siguientes:

d/dx(y),df/df´d/dx(f),y´,f´(x)Dxy,Dx,f,y

las secciones conicas

Las figuras geometricas que estudiaremos a dcontinuación son aquellas que se pueden obtener cuando se intersecta un con circular recto de dos mantos con un plano, por este motivo se les llaman secciones cónicas o simplemente cónicas.

Como se muestra en la figura, si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje de dicho cono, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse.

Si un plano corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza, y ademas no tiene contacto con el otro, entonces la curva formada por la intersección se llama parábola.

Si un plano corta a los dos mantos de un cono, como se muestra en la figura, la curva formada por la intersección se nombra hipérbola.

la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano P(x,y)que son equidistantes de punto fijo.

El punto fijjo es el centro de la circunferencia y cualquier segmentode recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llma radio.

La ecuación de una circunferencia cuyo centro es el punto C(h,k) y radio r:

(x-h)²+(y-k)²=r²

La expresión anterior se conoce con el nombre de ecuación en la forma ordinaria o reducida de una circunferencia.

introducción a la geometría analítica.última parte

pendiente de una recta

supongamos que, x1 no es igual a x2 y y1 no es igual a y2. La recta r no sería vertical ni tampoco paralela al eje X, luego cortaría a éste en un punto, digamos M.


designemos por α el ángulo de inclinación. La pendiente m de r es, por definición, igual a tan α.




Nos proponemos encontrar m en función de las coordenadas P2P2.


El dibujo formado pr los ejes , la recta r, el ángulo α, y los puntos P1P2 no es suficiente para llevar a cabo nuestros propósitos. Tracemos dos lineas auxiliares: la paralela OX por P1 y la paralela OY por P2. Estas dos rectas se cortan en Q formando un triángulo rectángulo, en el angulo QP1P2=α por ser estos ángulos correspondientes entre las paralelas OX y P1Q cortadas por la transversal r.





Entonces: M=tan QP1P2=QP2/P1Q=M2P2-M2Q/OM2-OM1





Por tanto: m=y2-y1/x2-x1





La pendiente buscada resulta ser el cociente que tiene por numerador la diferencia de ordenadas y por denominador la diferencia de abscisas en el mismo orden.





En la fórmula a la cual hemos llegado en el numerador y denominador aparecen como minuendos las coorenadas de P2, pero esto no tiene que ser asi.





En efecto fijate que: y2-y1/x2-x1=-(y1-y2)/-(x1-x2)=y1-y2/x1-x2





Y xom o puedes ver, los papeles de las coordenadas de P1 y P2 se han invertido.

ejemplo

Hallar la pendiente de una recta que pasa por S(6,-4), T(2,-3)

m=-3-(-49)/2-6 -3+4/2-6 1/-4

Distancia de un punto y la recta

Sea D una recta y A un punto que no pertence a D. La distancia de A a D se define así:llamaremos D´ a la recta que pasa por A y es perpendicular a D.

Entonces D´ corta D en un punto A´. La distancia de A a D es, por definición, la longitud del segmento AA´.

Formula d=│Ax0 +By0+C│/√A²+B²

ejemplo

Hallar la distancia del punto (6,-2) A la recta cuya ecuación 3x – 4y + 4 = 0

│3x-4y+4│√3²+4² 3(6)-4(-2)+4 18+8+4 30/√9+16 30/√25 30/5 = 6

introducción a la geometria analitica. segunda parte.

Punto medio de un segmento de recta

El problema que vamos a resolbver a continuación nos llevara a otener dos fórmulas (muy parecidas entre si) que nos serviran para hacer algo importante:halla las coordenadas del punto medio de un segmento cuando se conocen las coordenadas de los extremos.

Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) los extremos de un segmento de recta P1P2 y M(x,y) su punto medio (es decir, el punto medio del segmento P1P2). trasladamos esta situación a una gráfica o dibujo en la cual añadimos algunas líneas auxiliares:





el señalamiento de varios angulos rectos nos permite afirmar que:

• los triangulos ΔP1RM y ΔMSP2 son rectangulos en R y S, respectivamente.
• las hipotenusas P1M y MP2 tienen igual lonfgitud (es decir, son iguales) por ser M el punto medio del segmento P1P2
• el anguloMP1R es congruente al P2MS por ser ambos correspondientes entre las paralelas P1R y MS cortadas por la transversal P1P2.

podemos afirmar entonces que los triangulos ΔP1RM y ΔP2MS son congruentes por tener la hipotenusa y un ángulo agudo respectivamente iguales. Por lo tanto:

P1R=MS

Por oponerse a ángulos iguales en triángulos iguales .

Pero P1R=Q1Q=OQ1=x-x1

Y MS=QQ2=OQ2-OQ=x2-x

Entonces: x-x1=x2-x

De donde obtenemos: 2x=x1+x2

Finnalmente al despejar x: x=x1+x2/2

Que nos da el valor de la abscisa M.

Procediendo de manera similar, pero trazando perpendiculares al eje de ordenadas se llega sin dificultad a: y=y1+y2/2

De manera que asi obtienes las ordenadas de los extremos de un segmento y necesitas hallar las del punto medio, sumas las absciss y divides la suma por dos; haces exacgtaqmente lo mismo con las ordenadas, y ¡es todo!

introducción a la geomnetría analitica

sistema de coordenadas cartesianas

El punto de partida de la geometría analítica son los llamados sistemas de coordenadas cartesianas, emdiante los cuales pueden ser resueltos, una gran variedad de problemas de geometría, empleando recursos de algebra. Seguramente recordaras que en una recta numerica se pueden representar los numeros reales tanto los positivos como los negativos, los racionales y los irracionales. En dicha recta se escogen dos punto arbitrarios: O y U que van a ser las representaciones graficas de los numeros cero y uno, respectivamente.

explicaremos ahora en qué consiste un sistema de coordenadas cartesianas y para que se utiliza.

Comenzaremos trazando dos rectas perpendiculares, cortadas por un punto O llamdo origen; para indicar la dirección positiva se dibuja una punta de flecha como se muestra en la figura.

Las dos rectas que hemos trazado dividen el plano en cuatro regiones o cuadratnes. El primer cuadrante (I) ocupa la parte superior derecha, el segundo (II) se coloca ne la parte superior izquierda, el tercer cuadrante (III) en la parte inferior izquierda y el cuarto cuadrante (IV) en la parte inferior derecha.

Finalmente , al eje horizontal se designa con la letraX y al vertical con la letra Y.

distancia entre dos puntos

sean P1(x1,y1) y p2(x2,y2)dos puntos e coordenadas conocidas con las restricciones siguientes x1 no es igual a x2 y y1 no es igual a y2. esto signigfica qe la recta P1P2 no es paralela a ninguno de los ejes coordenados.

Hallemos la distancia entre P1 y P2 en función de las coordenadas de ambos. por P1 hemos trazado la paralela al eje X y por P2 la paralela Y. Ambas rectas se cortan perpendicualrmente en M, formándose así el triángulo rectángulo P1MP2, cuyos catetos son P1M y MP2 y la hipotenusa es ,desde luego P1P2. Es fácil ver que la abscisa de M es la misma que la de P2 y su ordenada, la misma que la de P1, y así M(x2,y1).

Entonces: P1M=x2-x1 y MP2=y2-y1

El teorema de Pitágoras, aplicando al triángulo ΔP1MP2 nos permite escribir que:

(P1P2)2=(P1M)2+(MP2)2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

y extrayendo la raiz cuadrada:

P1P2=√(x2-x1)2+(y2-y1)2

d=√(x2-x1)2+(y2-y1)2

Ejemplo

Hallar las coordenadas del punto situado sobre el eje Y equidistante de los puntos M(5,5) y N(4,2)

Como el punto pedido P esta sobre el eje Y, y su abscisa es cero, su ordenada la designamos por y, entonces P(0,y).

La distancia de P a M es: √(5-0)2+(5-y)2

Y la de P a ]N: √(4-0)2+(2-y)2

Como ambas deben ser iguales: √52+(5-y)2= √42+(2-y)2

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad y efectuamos los cuadrados indicados, quedando:

25+25-10y+y2=16+4-4y+y2

Cancelando y2 y dejando en el primer miembro solamente los términos en y:

-10y+4y=16+4-25-25

lo que nos lleva a y=5

la respuesta es (0,5)

introducción a la geometria analitica

la geometria y el álgebra son ramas de la matemática que se fueron desarrollando de forma independiente hasta el sigloXVII, cuando el matematico y filósofo René Descartes escribió en su obra en la que incluía un tema sobre geometría, en donde establece una relación entre ésta rama de la matemática con el áñgebra, al elaborar el método de las coordenadas como una forma de localizar cualquier punto de un plano.

Hoy en día es muyy cpmún el método de las coordenadas. En él que se emplea el sistema de coordenadas cartesianas, llamado así el sistema desarrollado por Descartes para localizar un punto o un objeto por medio de númeos y otros símbolos.

Con ello, se pudieron emplear los métodos utilizados por el álgebra en la solución de problemas planteados por la geometría y a la vez, apoyar con la eometría a los problemas planteados por el álgebra, dando origen a una nueva rama de la matemática: la Geometría analítica. Con su llegada se enriquecieron ambas disciplinas, sentando así las bases para el surgimiento de una nueva rama de la matemática: el Cálculo. Esto dio un impulso al desarrollo de la mátematica.

Sin la Geometría analítica es imposible dominar el Cálculo Diferencial Integral, las cualaes constituyen a su vez, herramientas imprescindibles en la formación de ingenieros, físicos, matemáticos, químicos , economistas, biólogos, agrónomos y otros profesionistas.

ecuación de la linea tangente empleando la derivada

encuentra la ecuación de la línea tangente empleando la derivada.

1. Encuentra la ecuación de la linea tangente a la grafica de la función f´(x)x2+1, en el punto (-2,5)

Passoos:

• Derivar la funciónf(x): f´(x)2x
• Sustituimos x de la ecuación derivada con el valor del punto: m=2(-a) m=2(-2) m=4
• El resultado sera la pendiente (m) y sustituimos la ecuación punto pendiente: y-5=-4(x-(-2) y-5=-4(x+2) y-5=4x-8
• despejamos y : y=-4y-8+5 y=-4y-3