Parabolas

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h+a,k).

(y-k)2=4a(x-h)

La ecuación de una parabola de vértice (h,k)y eje focal paralelo al eje x es de la forma:
(y-k)2 4a (x-h)

Elementos:
foco: (h+a,k)

directriz: x=h-a

eje focal: y=k

si el eje es paralelo al eje “y” la ecuación es de la forma:
(x-h)2= 4ª (y-k)

Elementos:
Foco: (h,k+p)

Directriz: y=k-p

Eje focal: x=h

Si el valor de “a”es positivo abre hacia la derecha, si es negativo hacia la izquierda.

Ejemplo:
Ecuación de la parábola con vértice en

(-4,-3) y foco (-7,-3), paralela al eje x.
↑ ↑ ↑ ↑
h k x y

(y-k)2=4a(x-h)
(y-(-3)2= 4(-3)(x-(-4)
(y+3)2=-12(x+4)
y2+6y+9= -12x-48
y2+6y+9+12x+48=0
y2+6y+12x+57

LR= │4a│ LR=4(-3) LR= -12
LR=-12/2 LR=-6

ecuación de una parábola en la forma general.

Cuando el eje focal es paralelo al eje x utilizamos la ecuación

y2+Dy+Ex+F=0

Cuando el eje focal es paralelo al eje y utilizaremos la ecuación

x2+Dx+Ey+F=0

ejemplo:
en base a la ecuación general de la párabola, encuentra la ecuación reducida u ordinaria y las coordenadas del vértice.

y2-6x-6y+15=0 juntar los valores de y del lado izquierdo.

y2-6y=6x-15 segundo factor

y2-6y(-6/2)2= 6x-15(-6/2)2
y2-6y+9=6x-15+9 y2-6y+9=6x-6

y2-6y+9=6(x-1) (y-k)2=2a (x-h)

(y-3)2=6(x-1) coordenadas del

↑ ↑ vértice
k h

en base a la ecuación de un elipse con centro en el origen determina
ecuación de elipse con vértice en el centro
x2 + y2= 1 a2
100 -6y √100=10
↑
mayor b2
√64=8
√a2-b2 √100-64=c √36=6
a=10 b=8 c=6

coordenadas del eje mayor o vértice (0,0) (0,0)/(8,0) (8,0)

eje menor (0,b) (a,-b)/(0,6) (0,-6)

coordenadas de los focos (c,0) (-c,0)/(5.29,0) (-5.29,0)

longitud del ladorecto LR=2b2/a
2(64)/10 = 128/10 = 12.8

excentricidad e=c/a e=6/10

ecuación de al elipse fuera del origen
elipse convértice (3,-4), eje focal paralelo al eje x, con una longitud mayor de 10 y una excentricidad de 4/5 deterimina su ecuación general.


Eje mayor paralelo x
(x-h)2 + (y-k)2 =1
a2 b2
(x-3)2 + (y-(-4)2 =1
52 32
c2=a2-b2 42=52-b2 16=25-b2 16-25=-b2 (16-25=-b2)-1 25-16=b2

(x-3)2 + (y-(-4)2 225(x-3)2 +
52 32 25 ↕
25← x → 9=225 225(y+4)2
9
9(x-3)2+25(y+4)2=225
9(x2-3x-3x+9) + 25(y2+4y+4y+16)
9(x2-6x+9) + 25(y2+8y+16)
9x2-54x+81+25y2+200y+400=225
9x2-54x+81+25y2+200y+400-225=0
9x2+25y2-54x+200y+481-225=0
9x2+25y2-54x+200y+256=0

Por Betsy Denia Ramirez Martinez