circunferewncia

la circunferencia
c (centro)
r (radio)
p (punto)

CASO 1.
Fórmula de la circunferencia con centro en el origen.

r2=x2+y2

de acuerdo al teorema de Pitágoras.

CASO 2.
Ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia.

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

Ejemplo:
Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio de 5.
C=(0,0) r=5
h k
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
(x-0)2 – (y-0)2 = 52
x2+0+0+y2+0+0 = 25
x2 + y2 = 25

CASO 3.
Formula de distancia entre 2 puntos.

d = (x2-x1)2 + (y2-y1)2

Ejemplo:
Ecuación de la circunferencia que pasa por el punto(4,-5) cuyo centro es(6,-4). Como no tenemos la medida del radio, utilizaremos la formula de distancia entre 2 puntos.

(4-6)2 + (-5-(-4)2 = r2
(4-6)2 + (-5+4)2 = r2
(-2)2 + (-1)2 = r2
4+1= r2 5= r2 √5= r2 √5=√r2
r= √5 r=2.23
(x-6)2+(y-(-4)2=5 (x-6)2+(y+4)2
(x2-12x+36)+(y2+8y+16)=5
x2+y2-12x+8y+52=5
x2+y2-12x+8y+52-5=0
x2+y2-12x+8y+47=0

CASO 4.
PM:
PMx= x1+x2 PMy=y1+y2
2 2

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son los puntos (6,2) (-2,-4)

6+(-2)= 4 = 2 2+(-4)=2 = 1
2 2 2 2

p1: (2,-1) p2: (6,2)

(6-2)2+(2-(-1)2=r2 (6-2)2+(2+1)2
42+32=r2 16+9=r2 25=r2
√25=√r2 r=√25 r=5
(x-2)2+(2-(-1)2=r2 (x-2)2+(2+1)2
x2-4x+4+y2+2y+1=25
x2+y2-4x+2y+5=25
x2+y2-4x+2y+5-25=0
x2+y2-4x+2y-20=0

CASO 6.

Ax+ByC
√ A2+B2


Ejemplo:
Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (10,-5), que es tangente de la recta 4x+3y-50=0

Distancia entre (10,-5) y 4x+3y-50=0
punto↔linea

Ax+ByC 14(10)+3(-5)-50
√ A2+B2 √142+32

40-15-50 40-65 25 5
√16+9 √25 5

(x-h)2 + (y-k)2 = r2
(x-10)2+(y-(-5)2=52
(x-10)2+(y+5)2=52
x2-10x-10x+100+y2+5y+5y+25=25
x2-20x+100+y2+10y+25=25
x+y2-20x+10y+125=25
x2+y2-20x+10x+125-25=0
x2+y2-20x+10x+10