introducción a la geomnetría analitica

sistema de coordenadas cartesianas

El punto de partida de la geometría analítica son los llamados sistemas de coordenadas cartesianas, emdiante los cuales pueden ser resueltos, una gran variedad de problemas de geometría, empleando recursos de algebra. Seguramente recordaras que en una recta numerica se pueden representar los numeros reales tanto los positivos como los negativos, los racionales y los irracionales. En dicha recta se escogen dos punto arbitrarios: O y U que van a ser las representaciones graficas de los numeros cero y uno, respectivamente.

explicaremos ahora en qué consiste un sistema de coordenadas cartesianas y para que se utiliza.

Comenzaremos trazando dos rectas perpendiculares, cortadas por un punto O llamdo origen; para indicar la dirección positiva se dibuja una punta de flecha como se muestra en la figura.

Las dos rectas que hemos trazado dividen el plano en cuatro regiones o cuadratnes. El primer cuadrante (I) ocupa la parte superior derecha, el segundo (II) se coloca ne la parte superior izquierda, el tercer cuadrante (III) en la parte inferior izquierda y el cuarto cuadrante (IV) en la parte inferior derecha.

Finalmente , al eje horizontal se designa con la letraX y al vertical con la letra Y.

distancia entre dos puntos

sean P1(x1,y1) y p2(x2,y2)dos puntos e coordenadas conocidas con las restricciones siguientes x1 no es igual a x2 y y1 no es igual a y2. esto signigfica qe la recta P1P2 no es paralela a ninguno de los ejes coordenados.

Hallemos la distancia entre P1 y P2 en función de las coordenadas de ambos. por P1 hemos trazado la paralela al eje X y por P2 la paralela Y. Ambas rectas se cortan perpendicualrmente en M, formándose así el triángulo rectángulo P1MP2, cuyos catetos son P1M y MP2 y la hipotenusa es ,desde luego P1P2. Es fácil ver que la abscisa de M es la misma que la de P2 y su ordenada, la misma que la de P1, y así M(x2,y1).

Entonces: P1M=x2-x1 y MP2=y2-y1

El teorema de Pitágoras, aplicando al triángulo ΔP1MP2 nos permite escribir que:

(P1P2)2=(P1M)2+(MP2)2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

y extrayendo la raiz cuadrada:

P1P2=√(x2-x1)2+(y2-y1)2

d=√(x2-x1)2+(y2-y1)2

Ejemplo

Hallar las coordenadas del punto situado sobre el eje Y equidistante de los puntos M(5,5) y N(4,2)

Como el punto pedido P esta sobre el eje Y, y su abscisa es cero, su ordenada la designamos por y, entonces P(0,y).

La distancia de P a M es: √(5-0)2+(5-y)2

Y la de P a ]N: √(4-0)2+(2-y)2

Como ambas deben ser iguales: √52+(5-y)2= √42+(2-y)2

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad y efectuamos los cuadrados indicados, quedando:

25+25-10y+y2=16+4-4y+y2

Cancelando y2 y dejando en el primer miembro solamente los términos en y:

-10y+4y=16+4-25-25

lo que nos lleva a y=5

la respuesta es (0,5)

introducción a la geometria analitica

la geometria y el álgebra son ramas de la matemática que se fueron desarrollando de forma independiente hasta el sigloXVII, cuando el matematico y filósofo René Descartes escribió en su obra en la que incluía un tema sobre geometría, en donde establece una relación entre ésta rama de la matemática con el áñgebra, al elaborar el método de las coordenadas como una forma de localizar cualquier punto de un plano.

Hoy en día es muyy cpmún el método de las coordenadas. En él que se emplea el sistema de coordenadas cartesianas, llamado así el sistema desarrollado por Descartes para localizar un punto o un objeto por medio de númeos y otros símbolos.

Con ello, se pudieron emplear los métodos utilizados por el álgebra en la solución de problemas planteados por la geometría y a la vez, apoyar con la eometría a los problemas planteados por el álgebra, dando origen a una nueva rama de la matemática: la Geometría analítica. Con su llegada se enriquecieron ambas disciplinas, sentando así las bases para el surgimiento de una nueva rama de la matemática: el Cálculo. Esto dio un impulso al desarrollo de la mátematica.

Sin la Geometría analítica es imposible dominar el Cálculo Diferencial Integral, las cualaes constituyen a su vez, herramientas imprescindibles en la formación de ingenieros, físicos, matemáticos, químicos , economistas, biólogos, agrónomos y otros profesionistas.

ecuación de la linea tangente empleando la derivada

encuentra la ecuación de la línea tangente empleando la derivada.

1. Encuentra la ecuación de la linea tangente a la grafica de la función f´(x)x2+1, en el punto (-2,5)

Passoos:

• Derivar la funciónf(x): f´(x)2x
• Sustituimos x de la ecuación derivada con el valor del punto: m=2(-a) m=2(-2) m=4
• El resultado sera la pendiente (m) y sustituimos la ecuación punto pendiente: y-5=-4(x-(-2) y-5=-4(x+2) y-5=4x-8
• despejamos y : y=-4y-8+5 y=-4y-3

la derivada

DERIVADA

La derivada es una tasa de cambio promedio (Δx,Δy) con un cambio de x que tiende a 0. la derivada es una tasa de cambio instantáneo.
Se aplica en casos variables de :
1.Tasa de cambio de población
2.Función de distancia recorrida de una partícula respecto al tiempo…
La derivada también es una pendiente, una pendiente de una línea tangente respecto a la curva.
La derivada puede encontrarse mediante al razón de cambio promedio con la siguiente regla:

Si una función es f(x)axh
Si una derivada es f´(x)=anxn-1

F(x)=2x2=4x f´(x)3x=3 f´(x)5=0

Multiplica exponente (n) por (a) valor y al exponente le restamos 1.
Si la función no tiene variable tiende a cero

Derivada del producto

F´(x)=ab´+ba´
Ejemplo:
F´(x)=(4x-7)(5x2+2)
a b
(4x-7)(10x)+(5x2+2)(4) juntar términos
40x2-7x+20x2+8 semejantes
f(x)60x2-70x+8

La derivada del cociente3

La derivada del cociente se aplica a la función de división
La fórmula es :f(x)ba´b´a
b2
Ejemplo: x-3/ a a´=1 x2-5(1)-2x(x-3)/
x2-5 b b´=2x x2-52
permanece igual hasta
el resultado
X2-5-2x2+6x x2+6x-5 /
(x2-5)2

Derivada. la regla de la cadena

•La regla de la cadena se emplea para derivar funciones con exponente.
•Fórmula: f´(x)=n(u)n-1(u)
•Ejemplo
F´(x)=(5x+4)3 ↔ f´(x)3(5x+4)2(5)pasar el
exponente como primer
termino y derivar
(5)3(5x+4)2
Restar al ↔ f´(x)15(5x+4)2
Exponente
-1

Parabolas

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h+a,k).

(y-k)2=4a(x-h)

La ecuación de una parabola de vértice (h,k)y eje focal paralelo al eje x es de la forma:
(y-k)2 4a (x-h)

Elementos:
foco: (h+a,k)

directriz: x=h-a

eje focal: y=k

si el eje es paralelo al eje “y” la ecuación es de la forma:
(x-h)2= 4ª (y-k)

Elementos:
Foco: (h,k+p)

Directriz: y=k-p

Eje focal: x=h

Si el valor de “a”es positivo abre hacia la derecha, si es negativo hacia la izquierda.

Ejemplo:
Ecuación de la parábola con vértice en

(-4,-3) y foco (-7,-3), paralela al eje x.
↑ ↑ ↑ ↑
h k x y

(y-k)2=4a(x-h)
(y-(-3)2= 4(-3)(x-(-4)
(y+3)2=-12(x+4)
y2+6y+9= -12x-48
y2+6y+9+12x+48=0
y2+6y+12x+57

LR= │4a│ LR=4(-3) LR= -12
LR=-12/2 LR=-6

ecuación de una parábola en la forma general.

Cuando el eje focal es paralelo al eje x utilizamos la ecuación

y2+Dy+Ex+F=0

Cuando el eje focal es paralelo al eje y utilizaremos la ecuación

x2+Dx+Ey+F=0

ejemplo:
en base a la ecuación general de la párabola, encuentra la ecuación reducida u ordinaria y las coordenadas del vértice.

y2-6x-6y+15=0 juntar los valores de y del lado izquierdo.

y2-6y=6x-15 segundo factor

y2-6y(-6/2)2= 6x-15(-6/2)2
y2-6y+9=6x-15+9 y2-6y+9=6x-6

y2-6y+9=6(x-1) (y-k)2=2a (x-h)

(y-3)2=6(x-1) coordenadas del

↑ ↑ vértice
k h

en base a la ecuación de un elipse con centro en el origen determina
ecuación de elipse con vértice en el centro
x2 + y2= 1 a2
100 -6y √100=10
↑
mayor b2
√64=8
√a2-b2 √100-64=c √36=6
a=10 b=8 c=6

coordenadas del eje mayor o vértice (0,0) (0,0)/(8,0) (8,0)

eje menor (0,b) (a,-b)/(0,6) (0,-6)

coordenadas de los focos (c,0) (-c,0)/(5.29,0) (-5.29,0)

longitud del ladorecto LR=2b2/a
2(64)/10 = 128/10 = 12.8

excentricidad e=c/a e=6/10

ecuación de al elipse fuera del origen
elipse convértice (3,-4), eje focal paralelo al eje x, con una longitud mayor de 10 y una excentricidad de 4/5 deterimina su ecuación general.


Eje mayor paralelo x
(x-h)2 + (y-k)2 =1
a2 b2
(x-3)2 + (y-(-4)2 =1
52 32
c2=a2-b2 42=52-b2 16=25-b2 16-25=-b2 (16-25=-b2)-1 25-16=b2

(x-3)2 + (y-(-4)2 225(x-3)2 +
52 32 25 ↕
25← x → 9=225 225(y+4)2
9
9(x-3)2+25(y+4)2=225
9(x2-3x-3x+9) + 25(y2+4y+4y+16)
9(x2-6x+9) + 25(y2+8y+16)
9x2-54x+81+25y2+200y+400=225
9x2-54x+81+25y2+200y+400-225=0
9x2+25y2-54x+200y+481-225=0
9x2+25y2-54x+200y+256=0

Por Betsy Denia Ramirez Martinez

circunferewncia

la circunferencia
c (centro)
r (radio)
p (punto)

CASO 1.
Fórmula de la circunferencia con centro en el origen.

r2=x2+y2

de acuerdo al teorema de Pitágoras.

CASO 2.
Ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia.

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

Ejemplo:
Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio de 5.
C=(0,0) r=5
h k
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
(x-0)2 – (y-0)2 = 52
x2+0+0+y2+0+0 = 25
x2 + y2 = 25

CASO 3.
Formula de distancia entre 2 puntos.

d = (x2-x1)2 + (y2-y1)2

Ejemplo:
Ecuación de la circunferencia que pasa por el punto(4,-5) cuyo centro es(6,-4). Como no tenemos la medida del radio, utilizaremos la formula de distancia entre 2 puntos.

(4-6)2 + (-5-(-4)2 = r2
(4-6)2 + (-5+4)2 = r2
(-2)2 + (-1)2 = r2
4+1= r2 5= r2 √5= r2 √5=√r2
r= √5 r=2.23
(x-6)2+(y-(-4)2=5 (x-6)2+(y+4)2
(x2-12x+36)+(y2+8y+16)=5
x2+y2-12x+8y+52=5
x2+y2-12x+8y+52-5=0
x2+y2-12x+8y+47=0

CASO 4.
PM:
PMx= x1+x2 PMy=y1+y2
2 2

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son los puntos (6,2) (-2,-4)

6+(-2)= 4 = 2 2+(-4)=2 = 1
2 2 2 2

p1: (2,-1) p2: (6,2)

(6-2)2+(2-(-1)2=r2 (6-2)2+(2+1)2
42+32=r2 16+9=r2 25=r2
√25=√r2 r=√25 r=5
(x-2)2+(2-(-1)2=r2 (x-2)2+(2+1)2
x2-4x+4+y2+2y+1=25
x2+y2-4x+2y+5=25
x2+y2-4x+2y+5-25=0
x2+y2-4x+2y-20=0

CASO 6.

Ax+ByC
√ A2+B2


Ejemplo:
Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (10,-5), que es tangente de la recta 4x+3y-50=0

Distancia entre (10,-5) y 4x+3y-50=0
punto↔linea

Ax+ByC 14(10)+3(-5)-50
√ A2+B2 √142+32

40-15-50 40-65 25 5
√16+9 √25 5

(x-h)2 + (y-k)2 = r2
(x-10)2+(y-(-5)2=52
(x-10)2+(y+5)2=52
x2-10x-10x+100+y2+5y+5y+25=25
x2-20x+100+y2+10y+25=25
x+y2-20x+10y+125=25
x2+y2-20x+10x+125-25=0
x2+y2-20x+10x+10